DERET FIBONACCI

A.    SEJARAH DERET FEBONACCI

            Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan.

Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.

Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.
            Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.
“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua.Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.

Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci. Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.Akan diperoleh jawaban 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Untuk lebih jelasnya bisa dilihat pada table dibawah ini:

B.     PENGERTIAN DERET FIBONACCI

Deret Fibonacci adalah suatu deret matematika yang berasal dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya.

1, 1, 2, 3, 5, 7, 12, 19, …

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

F_n = (x₁ⁿ – x₂ⁿ)/ sqrt(5)

dengan

• F_n adalah bilangan Fibonacci ke-n
• x₁ dan x₂ adalah penyelesaian persamaan x²-x-1=0

Perbandingan antara F_n+1 dengan F_n hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

C.DERET FIBONACCI PADA JAVA

Deret febonacci dapat juga diaplikasikan pada program java,caranya yaitu dengan menggunakan operasi aritmetik pada java dengan menginputkan bilangan 1 dan 0,

Pada program java dapat ditulis

 int a=0,b=1,…….(input selanjutnya berupa huruf bukan bilangan)

Sedangkan rumus pada deret febonacci,Misalnya untuk menampilkan deret ke 3,pada java bias ditulis coding c=b+a

c=b+a          F(n-2)

                                             F(n-1)

Keterangan:

1.      c merupakan penggambaran deret ke 3 pada deret fibonacci yang di  implementasikan pada java.

2.      b merupakan penggambaran deret ke 2 pada deret fibonacci yang di implementasikan pada java.

3.      A merupakan penggambaran deret ke 1 pada deret fibonacci yang diimplementasikan pada java.

Project programnya bias dilihat pada gambar di bawah ini

Gambar diatas ini adalah output dari program java yang merupakan deret fibonacci

Yang menampilkan sampai deret ke 26

D.KESIMPULAN

1.      Deret febonacci adalah yang merupakan sebuah deret yang ke n yang merupakan penjumlahan dari deret( ke n-1)dan(ke n-2).

2.      Mempunyai golden ratio yang sama pada setiap nilai ke n nya mendekati  1,618.

3.      Pengaplikasian deret fibonacci pada program java sangat sederhana dan sangat mudah dimengerti.